在数学上，当一个重要的数学定义已经提出，一个重要的数学定理已经证明，事情还远没有结束再清晰的数学工作，总有更多的理解空间最常用的方法之一就是把它表述为一个更广泛事物的特例促销有不同的种类，这里只讨论其中几种

弱化假设，强化结论

印度数学家拉玛努金发现的数字1729非常著名，因为它可以用两种不同的方式写成两个正整数的完全立方和，即

而1729是这些数字中最小的让我们试着检查一下，是否有一个数可以用四种不同的方式写成四个完全立方体的和

乍一看，这个问题似乎令人惊讶如果有这样的数字，那一定很大如果要试一个又一个号码，那一定是极其繁琐的那么，有没有什么巧妙的办法呢

答案是假设必须被削弱我们想解决的问题大致分为以下几类给一个正整数序列a_1，a_2，a_3…，告诉我们这个序列有一些性质然后证明一定有正整数，这样就可以用十种不同的方式写成这个序列中四项之和这样思考问题可能有点做作，因为假设这个数列是一个 "完全立方数数列 "，又因为这个性质的数列太特殊，所以把这个问题想成一个特定数列的辨识更自然可是，这种思维方式鼓励我们考虑这一结论对于更广泛的序列仍然成立的可能性，事实证明这是正确的

有1，000个小于或等于1，000，000，000的完整立方体我们会看到，这个事实足以保证有一个整数，可以用十种不同的方式写成四个完全立方数之和

为了证明这一点，我们首先要注意，从序列中随机选取四项，有1000×999×998×997/24种方式，并且这个数小于400亿，这个序列中任意四项之和不得大于40亿所以现在有400亿个数字不超过40亿，其中一定有重复的数字平均下来，应该有十个以上的数字具有相同的值所以400亿个数字中，至少有一个取40亿个值中的一个十次以上，就完成了证明

为什么这样普及对解决问题有帮助人们可能会认为，在证明一个结果时，假设越少，证明越困难可是，事实往往并非如此假设越少，用这个假设去证明时需要做的选择就越少，有时候会加快寻找证明的速度这个问题如果不如上推广，选择太多了比如我们可以尝试用三次项解丢番图方程，而不是像现在这样做简单的计数问题

我们也可以认为上面的概括是对结论的强化:原问题只是一个关于立方体的命题，我们的证明要多得多弱化假设和强化结论没有明显区别

证明一个更抽象的结果

算术上有一个著名的结果叫费马小定理:如果P是素数，正整数A不是P的倍数，当A除以P时，余数一定是1也就是说，a^模p必须与1全等

这个结果有几个证明，其中一个就是求推广的好例子以下是其论点的摘要

第一步，证明数1，2，…，p—1在模p的乘法下形成一个群。

mod的乘法就是乘法之后要除以p，取余数比如取p=7，3和6的乘积mod7就是4，因为4是3×6=18除以7的余数

第二步注意到，如果1≤a≤p—1，那么A的幂mod p构成这个群的一个子群，这个子群的大小最小使得A m = 1，modp的整数m，然后应用拉格朗日定理，即一个群的大小一定能被这个子群的大小整除现在群的大小是p—1，所以p—1能被m整除，但是a m = 1，modp，所以a = 1，modp证明定理

这个论证表明，如果恰当地看待，费马小定理只是拉格朗日定理的一个特例。

费马本人是看不出他的定理是这样的，因为他证明的时候，群的概念还没有被发明出来因此，群的抽象概念有助于人们以一种新的方式看待费马大定理:它可以看作是一个更一般结果的特例，但在新的抽象概念发展出来之前，即使是更一般的结果也不能陈述

这种抽象过程有许多优点，其中最明显的是它给出了一个更一般的定理，一个有许多其他有趣应用的定理一旦看到这一点，就可以一下子证明一般结果，而不必分别证明每个特殊结果与它连接的一个好处是，它使我们能够看到许多看似不相关的结果是相关的找到数学不同领域之间的联系，几乎肯定会影响这门学科的显著进步

识别特征属性

根号2的定义方式与虚数I的定义方式形成明显对比，根号2的定义方法是证明存在一个平方为2的正实数然后，将这个数定义为根号2

对于虚数I，这种证明方式是不可能的，因为未来没有实数的平方等于—1所以，我们换一个问题来问:如果有一个数平方后等于—1，那么，这个数的性质是什么这样的数不可能是实数，但不排除将实数系扩展成更大的数系以包含—1的平方根的可能性

乍一看，似乎我们只是知道了关于I的一件事，那就是I ^ 2 =—1。但是如果我们也假设I服从正常的算术定律，我们可以做更有趣的计算，比如

这意味着/根号2是I的平方根。

从这两个简单的假设出发，就可以发展出整个复数理论，而不用担心我是什么其实你想想根号2的存在性，就会发现根号2的存在性其实没有它的定义性质重要，这和I的定义性质很像，就是平方后给2，遵守通常的算术规律

许多重要的数学普及就是这样完成的另一个重要的例子是当x和a都是实数，x为正数时，x a的定义除非A是正整数，否则很难看出表达式X A的含义，可是，无论A取什么值，数学家们都若无其事地持有这个表达式这是怎么回事答案是，X A真正重要的不是它取什么值，而是当它被看作A的函数时，它的特征性质是什么

所谓特性性，既是指它所具有的性质，也是指它所是，即只有它所具有的性质。

X A最重要的特性是

有了这个性质，再加上其他几个性质，函数x a就完全确定了。

抽象和分类之间有一种有趣的关系在数学中，抽象一词往往是指数学的一部分，在这里，一个对象的特征性质更多的是用于讨论，而不是直接从对象的定义来论证抽象的最终目的是从一组公理出发，比如群的公理或者向量空间的公理，去探索它们的推论但是，有时为了对它们进行推理，对这些代数结构进行分类是有帮助的，分类的结果是使它们更加具体比如每个有限维实向量空间V都同构于某个R ^ n，n为非负整数把V想成一个具体的R N，而不是一个满足某些公理的代数结构，通常是有帮助的所以，从某种意义上来说，分类是抽象的对立面

重新陈述，以后再推广。

维度是一个数学概念，在日常语言中也很常见例如，椅子的照片是三维对象的二维表示，因为椅子有高度，宽度和深度，但它的图像只有高度和宽度粗略地说，图的维数就是能够沿着图自由移动并一直停留在图中的独立方向的个数这个粗略的概念可以用数学精确定义

给定一个图，按正常理解它的维数应该是一个非负整数说我们可以在比如1.4个独立方向上运动是没有意义的但是，分数维确实有严格的数学理论在这个理论中，我们可以通过任意给定一个非负实数D来找到一个D维图

数学家是如何做到这个看似不可能的事情的答案是重申这个概念只有这样才能普及

对于所有简单图形，尺寸的新定义与旧定义是一致的例如，在新的定义下，直线仍然是一维的，正方形仍然是二维的，立方体仍然是三维的

在新的定义下，每个图的维数必须是正整数不再明显。

有几种方法可以做到这一点，但大多数都集中在长度，面积和体积概念的差异注意，长度为2的直线段可以分成长度为1的两条不重叠的直线的并集，边长为2的正方形可以分成边长为1的四个不重叠的正方形的并集，边长为2的立方体可以分成边长为1的八个非重叠立方体的并集所以，如果一个D维的图形放大了因子R，那么它的D维体积就会乘以因子R D，现在假设你要展示一个1.4维的图形

然后找一个图X，用因子R放大，使放大的图可以分成互不相交的X的两个副本两份x，体积应该是x的体积的两倍，所以x的维数d应该满足方程r d = 2根据我们对R的选择，我们知道X的维数是1.4

另一个乍一看似乎毫无意义的概念是非对易几何可换这个词本来只用于二元运算，所以属于代数而不是几何那么，非对易几何的意义是什么呢

可是现在，答案不再令人惊讶:人们用代数结构重述几何的一部分，然后在这里推广代数这个代数结构涉及一个可交换的二元运算，所以允许这个二元运算是非可交换的扩展了这个代数

这里提到的几何学的一部分是流形的研究与流形X相关联的是定义在这个流形X上的复值连续函数的集合c..给定C中的两个函数f和g，两个复数λ和μ，线性组合λ f+μ g仍是复值连续函数，所以仍在C中，所以C是向量空间但是，也可以将F乘以G，这种乘法具有各种自然性质=fg+fh)，这使得C成为一个代数，甚至是一个C*—代数后来发现紧致流形X上的几何有相当一部分可以纯粹用C*—代数C的语言重述，这里的纯粹一词是指不用讲流形X，而C本来就是参考流形X定义的，我们需要的只是C是一个代数这意味着有可能存在这样的非几何生成的代数，但对它们来说，重述的几何概念仍然可用

代数中有两种二元运算:向量空间运算和乘法向量运算总是被假设为可交换的，但乘法不一定:如果乘法是可交换的，那么这个代数就是可交换的因为fg和gf显然是同一个函数，所以代数C是可交换的C*—代数，所以由几何生成的代数总是可交换的代数但许多几何概念在用代数语言重述后，对非对易C*—代数仍有意义，所以用非对易几何一词

这种重述和后来推广的过程在许多最重要的数学发展中都有发现现在看这篇文章的第三个例子:算术基本定理它是数论的基石之一指出每一个正整数都可以用唯一的方式写成素数的乘积但是，数论专家总是看扩展数系在绝大多数这样的数系中，算术基本定理的明显相似定理是不成立的

可是，有一种自然的方法可以将数的概念扩展到包括理想数，这样就可以在刚才提到的环中证明算术基本定理的一个版本先把问题重新表述如下:对每个数γ，做所有倍数δ γ的集合，其中δ是环中的元素

具有上述闭性质的环的子集称为理想如果一个理想有一个形状，γ是一个确定的数，那么这个理想叫做主理想但是，存在不是主理想的理想，所以理想的集合可以看作是概括原环的元素的集合因此，加法和乘法的自然概念适用于所有的理想此外，将一个理想定义为素理想也是有意义的在这里，说理想I是素理想，是指把I写成两个理想J和K的乘积的唯一方法是J，K中的一个是单位元在这个扩张集上因子的唯一分解定理是有效的这些概念为度量原环中因子分解唯一性定理的失败程度提供了一个非常有用的尺度

更高的维度和多个参数

我们已经看到，当我们考虑一个多变量的方程组而不仅仅是一个单变量的方程时，多项式方程的研究变得复杂得多例如，偏微分方程可以被视为涉及多个变量的微分方程，它通常比普通微分方程更难分析多元多项式方程和偏微分方程是一个过程的两个显著例子，这个过程从单变量扩展到多变量，产生了许多最重要的数学问题和结果，特别是20世纪以来

有一个涉及三个实变量Z，Y，Z的方程，把三个一组看成一个单独的对象，而不是一组三个数，通常是很有用的此外，这种物体有一个自然的解释:它代表三维空间中的一个点这个几何解释很重要，在很大程度上有助于解释，为什么从一个论点到许多论点，推广许多定义和定理是如此有趣如果一部代数作品从单变量扩展到多变量，可以认为是从一维背景扩展到高维背景这种想法导致了代数和几何之间的许多联系，从而使一个领域的技能可以用于其他领域